Значительный вклад в решение проблемы синтеза оптимальных управлений внесли известные ученые: Kahn M. E., Roth B., Bobrow J. E., Dubowsky S., Gibson J. S. [1,   2] и ряд других отечественных и зарубежных ученых. Наиболее эффективный подход к решению данной проблемы был предложен В.Х. Пшихоповым, разработавшим аналитический алгоритм оптимального по быстродействию управления, который позволяет организовать движение рабочего органа МР вдоль заданных траекторий с максимальной траекторной скоростью [3] . Однако возникают трудности при практической реализации данного подхода для траекторий, отличных от единичной окружности, связанные со сложностью нахождения в аналитическом виде функции кривой максимальной скорости (КМС), наличием матриц коэффициентов настройки, а также необходимостью вычисления производных от функции КМС и матриц Якоби. При этом потребляется до 15% вычислительных ресурсов СУ МР.

Таким образом, необходимо разработать аналитические оптимальные по быстродействию алгоритмы позиционно-траекторного управления , позволяющие повысить надёжность РТК и точность работы МР за счёт снижения вычислительной сложности алгоритмов управления и возможности учёта нелинейных свойств манипулятора.

Задача оптимального по быстродействию управления МР ставится следующим образом. Пусть математическая модель динамики МР в форме Коши задана системой

                           (1)

где ,   – векторы переменных координат состояния, соответствующие обобщённым координатам и скоростям размерности n х1;   – вектор управляющих воздействий размерности n х1;   – вектор функций переменных состояния размерности n х1;   – матрица функциональных коэффициентов размерности n х n ; Ф( x _{2 n -1} ) – оператор перехода из пространства R ⁿ в пространство R ^m ; Р – вектор внешних координат; n – число степеней подвижности МР.

Пусть желаемые траектории движения задаются в пространстве R ^m внешних координат или в пространстве R ⁿ обобщённых координат. Функционал или критерий качества определим в виде

,                                                     (2)

где       t ₀ – начальный момент времени, t _s – конечный момент времени.

Итак, требуется разработать алгоритм оптимального по быстродействию управления МР, который удовлетворяет ограничениям , , , переводит рабочий орган МР из заданного начального состояния x _{2 n} ( t ₀ ) , x _{2 n - 1} ( t ₀ ) в заданное конечное состояние x _{2 n} ( t _s ) , x _{2 n - 1} ( t _s ), минимизирует функционал J ( u ) (2) и устраняет недостатки существующих методов управления манипуляторами.

Известно, что задача оптимального по быстродействию позиционного управления, позволяющего оптимизировать такие технологические операции, как точечная сварка, дозаправка, обезвреживание взрывных устройств, отбор проб, управление системой наведения и т. д, заключается в перемещении рабочего органа МР из некоторой начальной точки фазового пространства в заданную точку (целевое положение) того же пространства за минимальное время. Пусть целевое положение рабочего органа МР задаётся в пространстве R ⁿ обобщённых координат.

Сформируем целевое многообразие рабочего органа МР

.                   (3)

При этом желаемая скорость движения рабочего органа МР определяется выражением

.                                  (4)

Линейная комбинация многообразий (3) и (4) определяет агрегированную макропеременную

                        (5)

где R > 0 ,   – диагонально определённо положительная матрица коэффициентов настройки. Требование асимптотической устойчивости в целом фазовой траектории (5), отражающей требования к установившемуся режиму МР, может быть задано предельным дифференциальным уравнением вида

,                                            (6)

где T >0,   – матрица задаваемых коэффициентов, определяющая характер движения рабочего органа МР во всём фазовом пространстве внешних или обобщённых координат. Предельное функциональное уравнение (6) также асимптотически устойчиво в целом для всего пространства состояний, кроме многообразия .

Подставив выражения (3) – (5) в уравнение (6), получим

.   (7)

Учитывая уравнение МР (1) и решив уравнение (7) относительно вектора управлений, получим

.       (8)

В пределе, при   алгоритм управления МР (8) имеет следующий вид: .          (9)

Так как большинство роботизированных технологических операций используют траекторное управление движением рабочего органа МР, т.е. движение по заданной траектории (сварка, разметка, окраска, нанесение покрытий и т. д.). Цель синтеза оптимальной по быстродействию траекторной СУ состоит в определении такого управления , которое переводит МР из произвольного состояния в окрестность задаваемого многообразия

,                                         (11)

а затем обеспечивает дальнейшее его движение вдоль него с максимальной скоростью. Представляя матрицу управления   в фазовом пространстве R ^l в виде , был получен закон траекторного оптимального по быстродействию управления МР

,          (12)

где , , , , , , , 0 ₂ – нулевой вектор размерности .

При этом желаемые траектории движения рабочего органа МР, определяемые требованиями технологической задачи, задаются, как в виде квадратичных форм координат пространства внешних координат R ^m [3], так и в неявном виде.

Пример. Рассмотрим управление двухзвенным МР, который описывается моделью (1), где

, .