К. ф.-м. н. Шаврова О. Б.

Днепропетровский государственный аграрно-экономический университет, Украина

ПРОСТРАНСТВО БАНАХА В ПРИМЕРАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ СООТВЕТСТВУЮЩИХ МЕТРИК

Одним из основных понятий конструктивной теории функций для Банаховых пространств является понятие наилучшего приближения его элемента с помощью конечной линейной комбинации, выбранной в нем, линейно независимой системы элементов , которое определяется следующим образом:

. (1)

– характеризует, при каждом фиксированном , наименьшее значение по норме пространства величины и обладает свойствами:

1) ,

2) ,

3) .

Пространством Банаха называют полное линейное нормированное пространство . Оно является также метрическим пространством, в нем расстояние между любыми и определяется с помощью нормы: .

Метрическим пространством называют непустое множество , если для любой пары его элементов и можно указать число , которое называют расстоянием между элементами и , обозначают , удовлетворяющее условиям:

1) , при ;

2) ;

3) ,

Линейным пространством называют непустое множество , если для любой пары его элементов и можно указать понятие их суммы , а также для каждого элемента и любого числа ввести понятие произведения . При этом, введенные во множестве операции, удовлетворяют следующим условиям:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем можно указать бесконечную систему линейно независимых элементов , т.е., из соотношения для любой их линейной комбинации вытекает, что ( – нулевой элемент пространства ).

Пространство называется нормированным, если для каждого его элемента можно указать число , которое удовлетворяет условиям:

1) и , когда ,

2) ,

3) для всякого числа .

Фундаментальной последовательностью элементов метрического пространства называется последовательность , если для любых расстояние .

Метрическое пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится в нем.

Пространство – пространство – периодических интегрируемых по Лебегу функций , для которых сходится ряд , где , с нормою

(2)

Пространство – совокупность интегрируемых по Лебегу на функций , у которых существует преобразования Фурье , которое удовлетворяет условию , с нормою

. (3)

Пространство – это совокупность функций , которые – периодичны по каждой переменно, интегрируемы по Лебегу на кубе периодов , с рядом Фурье , для которых при р ряд сходится, где

, ,

(l – количество индексов ),

,

За норму принимают величину

. (4)

Пространство – это совокупность измеримых –периодических функций , для которых при заданном существует интеграл Лебега от функции , норма которого

(5)

Пространством называют совокупность функций, заданных на множестве и для которых выполняется неравенство , а норма принимает величину

. (6)

Пространство Орлича – совокупность периодических периода функций , для которых интегрируема на с нормой

, , (7)

где и сопряжены в смысле Юнга, а – совокупность всех функций , для которых