WEB-ресурс научно-практических конференций

К.ф.-м.н. Бурцев М.В.

Орловский государственный университет, Российская Федерация

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в различных работах А.Н. Кочубея, А.В. Псху, В.А. Нахушевой. Однако следует отметить, что, не смотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория дифференциально-разностных уравнений дробного порядка находится в начале своего развития. Наиболее близкими в этом направлении являются работы А.Н. Зарубина и Е.А. Зарубина, где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом.

В данной статье представлены новые результаты, полученные в процессе построения решения задачи Коши для неоднородного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом. В частности, приведено доказательство теоремы существования и единственности решения поставленной задачи.

На полупрямой рассмотрим задачу Коши для неоднородного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом:

(1)

(2)

где

Теорема. Пусть , - заданная ограниченная непрерыв-ная функция. Тогда существует единственное решение задачи (1) - (2) при из класса , , представимое в форме

(3)

(4)

где - о бобщенная функция типа Миттаг-Леффлера [5, c. 45], - символ Похгаммера [4, c. 686] и - функция типа

Миттаг-Леффлера [2, c. 117] .

Доказательство. Единственность решения задачи Коши (1) - (2) можно доказать, используя схему представленную в работе [1].

Найдем решение задачи (1) - (2), применяя интегральное преобразование Лапласа [3, c. 30].

Пусть , - изображения по Лапласу функций и соответственно, причем а [5, c. 84]

Применяя к (1) преобразование Лапласа, учитывая (2), получим операторное уравнение которое дает операторное решение уравнения

(5)

т.к. при достаточно больших .

Учитывая, что [5, c. 47]

по теореме о запаздывании оригинала найдем

(6)

Таким образом, для изображения операторного решения уравнения (1) имеем, на основании (5), (6) оригинал (3), который является формальным решением задачи (1) - (2) при .

Ряд (4) сходится при любых . Действительно, на основании [5, 1.12.65] запишем выражение (4) в терминах Н - функции Фокса [4, c. 528]. Получим

.

Воспользовавшись асимптотикой Н - функции Фокса при больших значениях аргумента [5, c. 62] придем к неравенству

. (7)

В силу того, что ряд в правой части (7) абсолютно и равномерно сходится при всех , на основании признака Вейерштрасса ряд (4) так же абсолютно и равномерно сходится для всех .

Следует отметить, что свойства функции , будут полностью определяться функцией Далее, т.к.

(8)

то, аналогично предыдущему, можно доказать, что ряд, полученный из (4) взятием почленно производной по порядка , сходится абсолютно и равномерно для всех .

Кроме того, очевидно, что ряд (4) можно почленно интегрировать, в результате чего ряд, построенный таким образом, будет сходится абсолютно и равномерно для всех .

Покажем теперь, что функция , определяемая равенством (3) удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).

Принимая во внимание (8) и

получим

(9)

Подставляя (3) в уравнение (1), учитывая (8) и (9), получим

Т.к.

то получим, что . Т.е. функция определяемая равенством (3) удовлетворяет уравнению (1).

Покажем выполнимость (2). Действительно, в силу того, что

получим

Таким образом, условие (2) выполняется.

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Бурцев М.В., Зарубин А.Н. Теорема единственности смешанной задачи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по обеим переменным // Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием ''Математическое моделирование и краевые задачи''. Ч.3. - Самара: СамГТУ, 2007. - С. 42 - 45.

2. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

3. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Наука, 1974. - 544 с.

4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды: В 3т. - Т.3. Специальные функции. Дополнительные главы.- 2-е изд., исправ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 688 с.

5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. - Amsterdam - Tokyo: Elsevier, 2006. - 523 p.