WEB-ресурс научно-практических конференций

К.ф.-м.н . Шемелова О.В., к.п.н. Бакеева Л.В.

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Казанский государственный технологический университет», Республика Татарстан , Российская Федерация

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С КОМПОНЕНТАМИ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ

Исследование задачи моделирования динамики управляемых систем и решение обратных задач динамики сводится к построению дифференциальных уравнений, решения которых обладают заданными свойствами, или определению соответствующих управляющих функций. Известные динамические аналогии позволяют решать задачи моделирования динамики систем различной физической природы, описываемой уравнениями Лагранжа, Гамильтона или другими уравнениями аналитической динамики.

Задачу управления динамикой систем различной физической природы можно описывать уравнениями Лагранжа второго рода:

,

Здесь – обобщенные координаты, – функция Лагранжа, – кинетическая коэнергия , – потенциальная энергия, – диссипативная функция, , , , – уравнения голономных связей, , , – уравнения неголономных связей, , – соответствующие векторы множителей Лагранжа, – вектор обобщенных сил. Неопределенные множители и подбираются таким образом, чтобы уравнения связей, наложенных на обобщенные координаты и скорости системы, составляли её первые интегралы.

Уравнения Лагранжа второго рода преобразовывается к виду, разрешаемому относительно старших производных. Представление системы уравнений связей и уравнений Лагранжа второго рода в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с известными частными интегралами позволяет использовать стандартные численные методы для решения уравнений движения [1].

В работе рассматривается задача построения уравнений динамики систем различной физической природы с голономными связями и неголономными связями.

Среди разнообразных явлений различной физической природы нередко можно встретить похожие явления, обнаруживающие одинаковые признаки и закономерности. В таких случаях говорят о физических аналогиях, или аналогичных системах. Физические аналогии, существующие между электрическими, механическими, акустическими и другими системами, давно с успехом используются при исследованиях и расчетах. Методы, основанные на применении аналогий, в ряде случаев оказываются весьма плодотворными при решении задач. Они позволяют сводить решения некоторых задач к решениям других (уже известных) задач (зачастую из другого раздела физики).

Исследование всех систем различной физической природы может быть разделено на две части: на составление дифференциального уравнения, исходя из постановки задачи и физических законов, и на решение дифференциального уравнения.

Для построения уравнений динамики рассматриваются величины, которые характеризуют динамическое поведение систем различной физической природы. А так как уравнения динамики системы могут быть составлены в форме уравнений Лагранжа или в форме уравнений Гамильтона, среди динамических величин проводится некоторая классификация [5].

Уравнения динамики физической системы в форме Лагранжа получаются из общего уравнения динамики свободной системы [2, 6] в силу независимости обобщенных координат .

, , (1)

где – координаты перемещений, – координаты расходов, – кинетическая коэнергия системы любой физической природы [5], – потенциальная энергия, – диссипативная функция, – обобщенные силы.

Уравнение (1) соответствует системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными . Основным условием вывода ОДУ Лагранжа (1) является независимость обобщенных координат системы. Допустим, что на координаты перемещения и расходы наложены ограничения, удовлетворяющие голономным и неголономным связям:

, , (2)

, , (3)

а также

, , , (4)

Для стабилизации связей (2), (3) вводятся уравнения программных связей [1]

, (5)

. (6)

Правые части , равенств (5), (6) определяются как решения дифференциальных уравнений

, , (7)

, .

Уравнения (7) должны быть рассмотрены совместно с уравнениями динамики и начальными условиями , , , , .

Равенства (5), (6) составляют уравнения программных связей . Уравнения (7) являются уравнениями возмущений связей [1]. Уравнения программных связей (5), (6), как и уравнения обычных связей, накладывают ограничения на обобщенные координаты перемещения и координаты расхода точек системы.

Тогда ОДУ Лагранжа, с учетом уравнений (5), (6), приводятся к виду

. (8)

Движение, описываемое уравнением (8), должно удовлетворять также уравнениям программных связей (5) – (6). Таким образом, кинематические уравнения связей (5) – (6) добавляются к уравнениям движения (8) для получения векторов неизвестных множителей и .

Система (5), (6), (8) представляет собой систему дифференциальных уравнений динамики Лагранжа, которая содержит в себе неявных относительно ОДУ второго порядка, уравнений связей ( голономных и неголономных связей).

Продифференцировав по времени слагаемое , уравнение (8) можно представить в виде, допускающем решение относительно старших производных:

, (9)

где ,

Это уравнение вместе с алгебраическими уравнениями связей (5), (6) составляет ДАУ в форме Лагранжа . А, вводя вектор координат расхода , множество ДАУ Лагранжа из ОДУ второго порядка преобразовывается к системе ОДУ первого порядка. Итак, система ДАУ имеет вид:

(10)

Выполнение соответствующих преобразований для уравнений (10), которое включает исключение множителей и , а также построение уравнений возмущений связей для учета стабилизации связей, позволяет получить следующую систему уравнений первого порядка:

,

,

где , , , , , .

Представление системы уравнений связей и уравнений Лагранжа второго рода в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с известными частными интегралами позволяет использовать стандартные численные методы для решения уравнений динамики.

Список литературы:

1. Мухарлямов Р.Г. Стабилизация движений механических систем на заданных многообразиях фазового пространства // ПММ. – 2006. – Т.70. – №2. – С.236–249.

2. Layton , Richard A. Principles of analytical system dynamics . – Springer-Verlag New-York , Inc . – 1998. – 156 p .

3. Ольсон Г. Динамические аналогии. Пер. с англ. Б.Л. Коробочкина . Под ред. М.А. Айзермана . – М.: Гос . изд. иностр . лит-ры , 1947.

4. КоганИ .Ш., 2004, “Физические аналогии” – не аналогии, а закон природы. – http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/7438.html.

5. Шемелова О.В. Кинематические и динамические характеристики систем различной физической природы // Материалы II (XXXIV) Международной научно-практической конференции / Кемеровский госуниверситет. – Кемерово: ООО «ИНТ», 2007. – Вып .8. – Т.2. – С.166–168.

6. Шемелова О.В. Управление динамикой электромеханических систем // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика . – 2003 . – №1 .– С.63–71.