Наши конференции

В данной секции Вы можете ознакомиться с материалами наших конференций

VII МНПК "АЛЬЯНС НАУК: ученый - ученому"

IV МНПК "КАЧЕСТВО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ: глобальные и локальные аспекты"

IV МНПК "Проблемы и пути совершенствования экономического механизма предпринимательской деятельности"

I МНПК «Финансовый механизм решения глобальных проблем: предотвращение экономических кризисов»

VII НПК "Спецпроект: анализ научных исследований"

III МНПК молодых ученых и студентов "Стратегия экономического развития стран в условиях глобализации"(17-18 февраля 2012г.)

Региональный научный семинар "Бизнес-планы проектов инвестиционного развития Днепропетровщины в ходе подготовки Евро-2012" (17 апреля 2012г.)

II Всеукраинская НПК "Актуальные проблемы преподавания иностранных языков для профессионального общения" (6-7 апреля 2012г.)

МС НПК "Инновационное развитие государства: проблемы и перспективы глазам молодых ученых" (5-6 апреля 2012г.)

I Международная научно-практическая Интернет-конференция «Актуальные вопросы повышения конкурентоспособности государства, бизнеса и образования в современных экономических условиях»(Полтава, 14?15 февраля 2013г.)

I Международная научно-практическая конференция «Лингвокогнитология и языковые структуры» (Днепропетровск, 14-15 февраля 2013г.)

Региональная научно-методическая конференция для студентов, аспирантов, молодых учёных «Язык и мир: современные тенденции преподавания иностранных языков в высшей школе» (Днепродзержинск, 20-21 февраля 2013г.)

IV Международная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов «Стратегия экономического развития стран в условиях глобализации» (Днепропетровск, 15-16 марта 2013г.)

VIII Международная научно-практическая Интернет-конференция «Альянс наук: ученый – ученому» (28–29 марта 2013г.)

Региональная студенческая научно-практическая конференция «Актуальные исследования в сфере социально-экономических, технических и естественных наук и новейших технологий» (Днепропетровск, 4?5 апреля 2013г.)

V Международная научно-практическая конференция «Проблемы и пути совершенствования экономического механизма предпринимательской деятельности» (Желтые Воды, 4?5 апреля 2013г.)

Всеукраинская научно-практическая конференция «Научно-методические подходы к преподаванию управленческих дисциплин в контексте требований рынка труда» (Днепропетровск, 11-12 апреля 2013г.)

VІ Всеукраинская научно-методическая конференция «Восточные славяне: история, язык, культура, перевод» (Днепродзержинск, 17-18 апреля 2013г.)

VIII Международная научно-практическая Интернет-конференция «Спецпроект: анализ научных исследований» (30–31 мая 2013г.)

Всеукраинская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы преподавания иностранных языков для профессионального общения» (Днепропетровск, 7–8 июня 2013г.)

V Международная научно-практическая Интернет-конференция «Качество экономического развития: глобальные и локальные аспекты» (17–18 июня 2013г.)

IX Международная научно-практическая конференция «Наука в информационном пространстве» (10–11 октября 2013г.)

Вторая научно-практическая конференция "АЛЬЯНС НАУК: ученый ученому" (3-7 октября 2005 г.)

ДОВЕДЕННЯ НЕЗАЛЕЖНОСТІ СИСТЕМИ АКСІОМ ПЕАНО

Л. О. Іваненко

Постановка проблеми. Аксіоматичний метод – один із методів побудови і дослідження математичних теорій сучасності. Його розвиток починається з Давньої Греції, а продовжується і в наші дні.

Подальший розвиток цього методу є досить важливим. Адже він є найбільш економним, а також більш чітко виявляє структуру математичних теорій, допомагає розв’язати проблеми, які не вирішуються при звичайному змістовному їх тлумаченні.

У формальному плані система аксіом повинна бути несуперечливою, повною та незалежною. Щоб бути впевненим у надійності обраної системи аксіом потрібно мати такі об’єкти, які можуть бути точною інтерпретацією цієї системи аксіом.

 

Аналіз літератури. В наш час досить багато робіт присвячено аксіоматичному методу в математиці. Зокрема досить детально розглядається питання незалежності системи аксіом. Хоча питання доведення незалежності системи аксіом Пеано зустрічається в різній літературі, зокрема в підручниках Вивальнюка Л. М. Числові системи, Нечаев В. И. Числовые системи , але в них розглядається доведення незалежності лише перших трьох аксіом.

 

Мета статті. Доведення незалежності всіх аксіом Пеано .

 

        Доведення незалежності аксіом Пеано.

        Н езалежність аксіоми n 1 .

        Формула   - ?

Доведення .

        Розглянемо алгебру (А 1 , ', +, Формула   1) , А 1 = { Формула , Формула , Формула }, в якій операції слідування ( ' ) , додавання (+) і множення ( Формула ) означені так:

        1) Формула

        2) Формула

            Формула

        3) Формула

            Формула

       

        В алгебрі А 1 не виконується аксіома n 1 , бо в н ій кожний елемент, у тому числі й одиничний елемент Формула , має передуючий. Решта шість аксіом Пеано в А 1 виконується(справджується). Це можна перевірити безпосередньо, бо множина А 1 = { Формула , Формула , Формула } містить тільки три елементи. Таким чином, алгебра А 1 буде моделлю для системи аксіом n 2 n 7 . Цим незалежність n 1 від решти аксіом доведено.

        Н езалежність аксіоми n 2 .

        Формула

 

Доведення.

        Щоб довести незалежність аксіоми n 2 від решти аксіом n 1 , n 3 n 7 , розглянемо алгебру (А 1 , ',+, Формула   1),А 1 = { Формула , Формула , Формула , Формула }, в якій операції ', + , Формула   означені так:

        1) Формула

        2) Формула

            Формула

  Формула

        3) Формула

            Формула

            Формула

        В алгебрі А 2 не виконується аксіома n 2 , бо Формула , але Формула   (тут елемент 2 йде за двома елементами : 1 і 4). Проте решта аксіом Пеано в А 2 виконуються .

        Доведемо незалежність аксіоми n 3 .

Формула Формула Формула Формула

       

Доведення .

        Розглянемо алгебру (А 3 ; Формула , Формула , Формула , (1,1)), А 3 = { Формула }, а відповідні операції визначаються так:

        1) Формула

        2) Формула

        3) Формула

        Елемент   (1, 1) беремо за одиницю . Легко впевнитися , що в алгебрі А 3 виконуються всі аксіоми Пеано, крім аксіоми n 3 . Аксіома n 3 не виконується . Справді , нехай Формула   де Формула  

Тоді (1,1) Формула , тобто умови аксіоми n 3 виконуються , а наслідок не виконується , бо Формула [ 1 ]

        Доведемо незалежність аксіоми n 4 .

Формула   - ?

 

Доведення .

        Розглянемо алгебру (А 4 ;+ , Формула , ', 1 ).

        А 4 = N , в якій операції слідування ', додавання + і множення Формула   о значаються так:

 

Формула , Формула , Формула , Формула , Формула

 

 

?

1

2

3

4

1

1

2

3

4

 

2

2

3

  5

7

 

3

3

5

7

8

 

4

4

7

8

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

 

+

1

2

3

4

1

1

2

3

4

 

2

2

3

  4

5

 

3

3

4

5

6

 

4

4

5

6

7

 

 

 

 

 

 

       

        В алгебрі А 4 не виконується аксіома n 4 , так як 1+1=1, що неможливо .   Решта аксіом Пеано в А 4 виконуються .

        Доведемо незалежність аксіоми n 5 .

Формула   -?

Доведення .

        Розглянемо алгебру (А 5 ;+ , Формула , ', 1 ).

        А 5 = N , в якій операції слідування ', додавання + і множення Формула   о значаються так: Формула

Формула , Формула , Формула , Формула , Формула

 

?

1

2

3

4

1

1

2

3

4

 

2

2

3

  5

7

 

3

3

5

8

1 1

 

4

4

7

1 1

1 5

 

 

 

 

 

 

 

Формула

 

+

1

2

3

4

1

2

3

4

5

 

2

3

3

  5

6

 

3

4

5

6

7

 

4

5

6

7

8

 

 

 

 

 

 

 

        В алгебрі А 5 не виконується аксіома n 5 , так як 3=2+2=2+ Формула Формула , ми прийшли до протиріччя .   Решта аксіом Пеано в А 5 виконуються .

        Доведемо незалежність аксіоми n 6 .

Формула   -?

Доведення .

        Розглянемо алгебру (А 6 ;+ , Формула , ', 1 ).

        А 6 = N , в якій операції слідування ', додавання + і множення Формула   о значаються так: Формула

Формула , Формула , Формула , Формула , Формула

 

+

1

2

3

4

1

2

3

4

5

 

2

3

4

  5

8

 

3

4

5

6

7

 

4

5

8

7

8

 

 

 

 

 

 

Формула

.

1

2

3

4

1

2

3

4

5

 

2

3

5

  7

9

 

3

4

7

10

13

 

4

5

9

13

17

 

 

 

 

 

 

        В алгебрі А 6 не виконується аксіома n 6 , так як Формула Формула Формула , що неможливо .   Решта аксіом Пеано в А 6 виконуються .

        Доведемо незалежність аксіоми n 7 .

Формула   -?

Доведення .

        Розглянемо алгебру (А 7 ;+ , Формула , ', 1 ).

        А 7 = N , в якій операції слідування ', додавання + і множення Формула   визначаються так: Формула

Формула , Формула , Формула , Формула , Формула

 

 

+

1

2

3

4

1

2

3

4

5

 

2

3

4

  5

6

 

3

4

5

6

7

 

4

5

6

7

8

 

 

 

 

 

 

 

Формула

 

.

1

2

3

4

1

1

2

3

4

 

2

2

3

  5

7

 

3

3

5

8

1 1

 

4

4

7

1 1

1 5

 

 

 

 

 

 

       

        В алгебрі А 7 не виконується аксіома n 7 , так як Формула Формула , ми прийшли до протиріччя .   Решта аксіом Пеано в А 7 виконуються .

 

        Висновок. Таким чином, доведено незалежність всіх аксіом Пеано . Розглянуто доцільність застосування аксіоматичного методу.

       

Література:

1. Вивальнюк Л. М. Числові системи. – К.: Вища школа, 1977. – 184с.